Octave
In den Übungen werden wir das Mathematik-Algebrasystem Octave verwenden, das ein Open Source Clone von Matlab ist. Es ist im Pool installiert und kann von der Octave-Homepage heruntergeladen werden. Das Programm kann in der Linux-Konsole mit
octaveErste Schritte
In der Kommandozeile von Octave kann man einfach einmal folgendes ausprobieren (nachdem man die Octave-Kommandozeile wie oben angegeben gestartet hat):
x = 3.1415
format long
x = 3.1415
x = 3.1415;
A = [ 1 2; 3 4; ]
b = [ 1; 2; ]
A \ b
A^2
A.^2
A.' * A
Dies sind einige der wichtigsten Kommandos, mit denen man schon recht
viel arbeiten kann. In den ersten drei Zeilen wird eine Variable x angelegt
und auf dem Bildschirm ausgegeben, zunächst mit niedriger, dann mit hoher
Genauigkeit. Zeile vier legt die Variable nur an, ohne sie auf dem Bildschirm
auzugeben, die Ausgabe wird durch das Semikolon; am Zeilenende
unterdrückt. In der nächsten Zeile wird eine Matrix und ein Spaltenvektor
angelegt. Ohne die Semikolon in den eckigen Klammern wäre b ein
Zeilenvektor. Die Anweisung A \ b löst das Gleichungssystem A x =
b mit Ausgabe am Bildschirm. Die nächste Zeile berechnet A^2 = A *
A. Im Vergleich dazu arbeitet der gepunktete Potenz-Operator .^
der folgenden Zeile Element-Weise, d.h. jeder Matrix Eintrag wird separat
quadriert. Damit ist die letzte Zeile die Berechnung des Produkts aus
transponierter Matrix und Matrix.
Zu allen Kommandos gibt es übrigens Hilfe in der
Octave-Kommandozeile:
help .*
help format
Plotten von Funktionen und Export in Dateien
Funtktionen können recht einfach geplottet werden:
x = [ 0 : 0.1 : 3 ];
y = [ 0 : 0.4 : 2 ];
[ xx, yy ] = meshgrid(x, y);
z = sin(xx.^2 - yy.^2);
mesh(x,y,z)
print ("sin.png", "-color", "-dpng");
Die ersten beiden Zeilen legen die Plotbereiche und die jeweilige Auflösung
fest. Zeile drei erzeugt ein Gitter und in Zeile vier wird für jeden
Gitterpunkt (x,y) der Funktionswert z = sin(x*x - y*y) berechnet
und gespeichert. mesh plottet die Funktion und mit
print() wird anschließend in eine png-Datei geschrieben. Die
plot-Funktion erhält dazu den Dateinamen, ein Flag und die Treiberwahl für die
Ausgabe als Parameter.
Skripten
Alle Befehle können hintereindander in ein Skriptfile geschrieben werden, das die Endung .m haben und im gleichen Verzeichnis, in dem Octave gestartet wurde, liegen sollte. Dann kann das Skript in Octave einfach durch Aufruf des Skriptnamens ohne Endung aufgerufen werden. Stehen die Plot-Befehle des vorigen Abschnitts beispielsweise in plotsin.m,
x = [ 0 : 0.1 : 3 ];
y = [ 0 : 0.4 : 2 ];
[ xx, yy ] = meshgrid(x, y);
z = sin(xx.^2 - yy.^2);
mesh(x,y,z)
print ("sin.png", "-color", "-dpng");
, dann kann man das Skript in der Octave-Kommandozeile
octave:1>plotsin
ausgeführt werden.
Zeitmessung
Die verbrauchte CPU-Zeit kann in Octave mittels
t1 = cputime;
... tue was;
t2 = cputime - t1;
gemessen werden.
Phasenraum-Portraits
Der folgende Code zeigt, wie ein einfaches zweidimensionales dynamisches System mit einem Runge-Kutta-Verfahren gelöst und ein Phasenportrait (beide Komponenten in einem Diagramm) geplottet werden kann. Es gibt natürlich noch andere Lösungsmöglichkeiten.
% Define System:
% x' = 2 * y * (1 + x*x + y*y)
% y' = -4 * x * (1 + x*x + y*y)
% set an inline function representing the system
g = inline('[ 2 * y(2) * (1 + y(1)*y(1) + y(2)*y(2)); -4*y(1) * (1 + y(1)*y(1) + y(2)*y(2)) ]', 't', 'y');
% plot solution (the classical way)
%[t, y] = ode45(g, [0, 20], [1; 0]);
%plot(t, y)
% solve with Runge-Kutta (ode45),
% second parameter: time interval
% third : initial conditions
[t, y] = ode45(g, [0, 10], [0.2; 0]);
% plot a phase portrait
plot(y(:,1), y(:,2))
grid;
xlabel('y1')
ylabel('y2')
title("Phasen-Portrait eines einfachen Systems")
print("portrait1.eps", "-color", "-deps")
Phasen-Portraits mit Nullklinen und Trajektorien
Der folgende Code zeigt, wie ein zweidimensionales dynamisches System mit Nulllkinen, Richtungsfeld und einigen Trajektorien, berechnet mit einem Forward-Euler-Verfahren, geplottet werden kann. Zunächst wird das dynamische System mit einer Funktion definiert, diese wird dann als Kernel an die Phasenportrait-Funktion übergeben. Der Kernel:
% sample_field1.m
% Define system
function [U,V] = sample_field1(X, Y)
U = X.^3 - 2 * X.^2 - 3 * X + 1 - Y.^2;
V = Y.^3 - 2 * Y.^2 - 3 * Y + 1 - X.^2;
endfunction
Die Plot-Funktion:
% phase_portrait.m
function r = phase_portrait(F, X, Y, traj, tau, time)
% (author: F. Piekniewski)
%
% Plots a vector field, nullclines and sample trajectories.
%
% Parameters:
% F function handle that computes the vector fields
% X, Y ranges of solutions U and V
% traj number of cmoputed trajectories
% tau timestep
% time time interval to compute trajectories
%
% sample call:
% phase_portrait('sample_field1',-2:0.1:2,-2:0.1:2,200,0.02,30)
% plot bounding box
xl = min(X(:));
xu = max(X(:));
yl = min(Y(:));
yu = max(Y(:));
% evaluate function at mesh points
[X,Y] = meshgrid(X,Y);
[U,V] = feval(F,X,Y);
% make contour plot (nullclines)
figure;
hold on;
contour(X, Y, U, [0 0], 'g')
contour(X, Y, V, [0 0], 'r')
% plot vector field
quiver(X, Y, U, V);
% compute and plot trajectories
for i = 1 : traj
% set initial values randomly
x0 = ((xu-xl) * rand(1,1)) + xl;
y0 = ((yu-yl) * rand(1,1)) + yl;
tr=[];
tr(1,:) = [x0, y0];
% compute current trajectory
for t = 0 : tau : time
% evaluate eqaution, FE step
[dx,dy] = feval(F, tr(end,1), tr(end,2));
tr(end+1,:) = tr(end,:) + tau * [dx,dy];
% limit reached, reset tr
if (tr(end,1)>xu) || (tr(end,1)<xl) || (tr(end,2)>yu) || (tr(end,2)<yl)
tr=tr(1:end-1,:);
break;
end;
end;
% plot trajectory
plot(tr(:,1), tr(:,2), 'k');
end;
% axis limits for plot
axis([xl xu yl yu]);
endfunction;
Aufruf in Octave z.B. mit:
phase_portrait('sample_field1',-2:0.1:2,-2:0.1:2,200,0.02,30)
