Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

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Octave

In den Übungen werden wir das Mathematik-Algebrasystem Octave verwenden, das ein Open Source Clone von Matlab ist. Es ist im Pool installiert und kann von der Octave-Homepage heruntergeladen werden. Das Programm kann in der Linux-Konsole mit

octave
gestartet werden.

Erste Schritte

In der Kommandozeile von Octave kann man einfach einmal folgendes ausprobieren (nachdem man die Octave-Kommandozeile wie oben angegeben gestartet hat):

      
        x = 3.1415
        format long
        x = 3.1415
        x = 3.1415;
        A = [ 1 2; 3 4; ]
        b = [ 1; 2; ]
        A \ b
        A^2
        A.^2
        A.' * A
      
    

Dies sind einige grundlegende Kommandos, mit denen man schon recht viel arbeiten kann. In den ersten drei Zeilen wird eine Variable x angelegt und auf dem Bildschirm ausgegeben, zunächst mit niedriger, dann mit hoher Genauigkeit. Zeile vier legt die Variable nur an, ohne sie auf dem Bildschirm auzugeben, die Ausgabe wird durch das Semikolon; am Zeilenende unterdrückt. In der nächsten Zeile wird eine Matrix und ein Spaltenvektor angelegt. Ohne die Semikolon in den eckigen Klammern wäre b ein Zeilenvektor. Die Anweisung A \ b löst das Gleichungssystem A x = b mit Ausgabe am Bildschirm. Die nächste Zeile berechnet A^2 = A * A. Im Vergleich dazu arbeitet der gepunktete Potenz-Operator .^ der folgenden Zeile Element-Weise, d.h. jeder Matrix Eintrag wird separat quadriert. Damit ist die letzte Zeile die Berechnung des Produkts aus transponierter Matrix und Matrix. Zu allen Kommandos gibt es übrigens Hilfe in der Octave-Kommandozeile, z.B.:
    
      help .*
      help save
      help format
    
  

Plotten von Funktionen und Export in Dateien

Funtktionen können recht einfach geplottet werden:

      
        x = [ 0 : 0.1 : 3 ];
        y = [ 0 : 0.4 : 2 ];
        [ xx, yy ] = meshgrid(x, y);
        z = sin(xx.^2 - yy.^2);
        mesh(x,y,z)
        print ("sin.png", "-color", "-dpng");
      
    
Die ersten beiden Zeilen legen die Plotbereiche und die jeweilige Auflösung fest. Zeile drei erzeugt ein Gitter und in Zeile vier wird für jeden Gitterpunkt (x,y) der Funktionswert z = sin(x*x - y*y) berechnet und gespeichert. mesh plottet die Funktion und mit print() wird anschließend in eine png-Datei geschrieben. Die plot-Funktion erhält dazu den Dateinamen, ein Flag und die Treiberwahl für die Ausgabe als Parameter.

Skripten

Alle Befehle können hintereindander in ein Skriptfile geschrieben werden, das die Endung .m haben und im gleichen Verzeichnis, in dem Octave gestartet wurde, liegen sollte. Dann kann das Skript in Octave einfach durch Aufruf des Skriptnamens ohne Endung aufgerufen werden. Stehen die Plot-Befehle des vorigen Abschnitts beispielsweise in plotsin.m,

      
        x = [ 0 : 0.1 : 3 ];
        y = [ 0 : 0.4 : 2 ];
        [ xx, yy ] = meshgrid(x, y);
        z = sin(xx.^2 - yy.^2);
        mesh(x,y,z)
        print ("sin.png", "-color", "-dpng");
      
    
, dann kann man das Skript in der Octave-Kommandozeile
      
        octave:1>plotsin
      
    
ausgeführt werden.

Zeitmessung

Die verbrauchte CPU-Zeit kann in Octave mittels

      
        t1 = cputime;
        ... tue was;
        t2 = cputime - t1;
      
    
gemessen werden.

Phasenraum-Portraits

Der folgende Code zeigt, wie ein einfaches zweidimensionales dynamisches System mit einem Runge-Kutta-Verfahren gelöst und ein Phasenportrait (das Vektorfeld bestehend aus den Steigungen x'/y' an den Punkten (x,y) wird geplottet) erstellt werden kann.

      
        % Define System:
        %     x' =  2 * y * (1 + x*x + y*y)
        %     y' = -4 * x * (1 + x*x + y*y)
        [x1, x2] = meshgrid(-.5:.05:.5, -.5:.05:.5);
        x1dot = 2 * x2 .* (1 + x1.^2 + x2.^2);
        x2dot = -4 * x1 .* (1 + x1.^2 + x2.^2);

        % plot vector field
        quiver(x1, x2, x1dot, x2dot)
        grid
        xlabel('x1');
        ylabel('x2');

        % some output
        title("Phasen-Portrait eines einfachen Systems")
        print("phaseportrait.pdf", "-color", "-dpdf")
      
    

Phasen-Portrait mit Nullklinen und Trajektorien

Der folgende Code zeigt, wie ein zweidimensionales dynamisches System mit Nullklinen, Richtungsfeld und einigen Trajektorien, berechnet mit dem Forward-Euler-Verfahren, geplottet werden kann. Zunächst wird das dynamische System mit einer Funktion definiert, das als Kernel an die Plotfunktion übergeben wird:

      
        % define system
        Function [U,V] = sample_field1(X, Y)
          U = X.^3 - 2 * X.^2 - 3 * X + 1 - Y.^2;
          V = Y.^3 - 2 * Y.^2 - 3 * Y + 1 - X.^2;
        endfunction

        % plotting function
        function r = phase_portrait(F, X, Y, traj, tau, time)

        % (author: F. Piekniewski)
        % Plots a vector field, nullclines and sample trajectories.
        %
        % Parameters:
        %   F      function handle that computes the vector fields
        %   X, Y   ranges of solutions U and V
        %   traj   number of cmoputed trajectories
        %   tau    timestep
        %   time   time interval to compute trajectories
        %
        % sample call:
        %   phase_portrait('sample_field1',-2:0.1:2,-2:0.1:2,200,0.02,30)

        % plot bounding box
        xl = min(X(:));
        xu = max(X(:));
        yl = min(Y(:));
        yu = max(Y(:));

        % evaluate function at mesh points
        [X,Y] = meshgrid(X,Y);
        [U,V] = feval(F,X,Y);

        % make contour plot (nullclines)
        figure;
        hold on;
        contour(X, Y, U, [0 0], 'g')
        contour(X, Y, V, [0 0], 'r')

        % plot vector field
        quiver(X, Y, U, V);

        % compute and plot trajectories
        for i = 1 : traj
          % set initial values randomly
          x0 = ((xu-xl) * rand(1,1)) + xl;
          y0 = ((yu-yl) * rand(1,1)) + yl;
          tr=[];
          tr(1,:) = [x0, y0];

          % compute current trajectory
          for t = 0 : tau : time
            % evaluate eqaution, FE step
            [dx,dy] = feval(F, tr(end,1), tr(end,2));
            tr(end+1,:) = tr(end,:) + tau * [dx,dy];
            % limit reached, reset tr
            if (tr(end,1)>xu) || (tr(end,1)<xl) || (tr(end,2)>yu) || (tr(end,2)<yl)
              tr=tr(1:end-1,:);
              break;
            end;
          end;
          % plot trajectory
          plot(tr(:,1), tr(:,2), 'k');
        end;

        % axis limits for plot
        axis([xl xu yl yu]);

        endfunction;

        % run
        phase_portrait('sample_field1',-2:0.1:2,-2:0.1:2,200,0.02,30)
      
    


Revision: 1305     Letzte Änderung: 2012-08-09 10